La Divina Proporción

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El objeto de esta publicación es dar a conocer el riguroso trabajo realizado por nuestro Q.H. A. Mendoza, que fue expuesto en la Respetable Logia Semper Fidelis, sobre:

LA DIVINA PROPORCIÓN

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EUCLIDES

Euclides fue un matemático griego nacido en el año 325 a.C. conocido como “El Padre de la Geometría”. Vivió en Alejandría donde fue el líder de un grupo de matemáticos que seguían sus enseñanzas.

“Los Elementos” es su obra más importante y está compuesta por trece libros; los seis primeros tratan de la geometría plana y las proporciones, los cuatro siguientes sobre la teoría de los números y los tres últimos sobre los sólidos.

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Concretamente en la Proposición 30 del libro sexto expone el resultado de la división de una recta en dos segmentos desiguales de modo que la proporción entre la recta y el segmento mayor sea igual a la del segmento mayor y el menor. En la Proposición 11 del libro segundo también hace referencia a estas proporciones utilizando el cuadrado de distintos segmentos.

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Euclides fue el primero que hizo referencia en sus publicaciones a las medidas de la Divina Proporción, a pesar de que matemáticos anteriores a él ya aplicaron estas medidas en distintas construcciones y obras de arte como, por ejemplo, Fidias, que dirigió la construcción del Partenón y esculpió varias estatuas sobre el año 440 a.C. entre las que destacaban las de Atenea y Zeus.

EL SEGMENTO DIVIDIDO EN EXTREMA Y MEDIA RAZÓN.

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Euclides, al dividir el segmento “en extrema y media razón”, llegó a lo que se conoce como número áureo o número Phi, un número irracional que es el resultado de dividir la recta entre el segmento grande y, lógicamente, también el resultado de dividir el segmento grande entre el pequeño. 

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El número Phi (1,6180339…) fue bautizado de este modo en la primera mitad del siglo XIX por el matemático alemán Martin Ohm, en honor a Fidias por el uso que habitualmente hizo en sus esculturas de las proporciones que llevaban a este número.

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FIBONACCI

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Leonardo de Pisa (1170-1250) era hijo de un comerciante y ambos viajaban regularmente a distintos países de África y de oriente, de donde Leonardo trajo los números indoarábigos a Europa que, finalmente, sustituyeron a los números romanos. Leonardo acabó siendo conocido como “Fibonacci” porque a su padre lo apodaban “Bonacci” y de ahí “fi” (hijo) de “Bonacci”.

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Fibonacci escribió varios libros de matemáticas que tuvieron gran repercusión en su época, y entre sus descubrimientos hay una curiosidad publicada en su “Libro del Ábaco”, que posteriormente el matemático francés Édouard Lucas llamó “Sucesión de Fibonacci”. Esta sucesión se desarrolla empezando por los números 0 y 1, y a partir de ahí se añade otro número que sea la suma de los dos anteriores, de modo que, al ir avanzando, la división de cualquier número entre el inmediatamente anterior da como resultado cifras próximas al número Phi, que se aproximan más a medida que la sucesión avanza… hacia el infinito.

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LUCA PACIOLI

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Luca Bartolomeo Pacioli, fraile franciscano nacido en Sansepolcro (Italia) en 1445, escribió la obra más completa sobre las proporciones del número áureo en un libro titulado “Divina Proporción”, que fue ilustrado con dibujos de distintos sólidos por su gran amigo Leonardo da Vinci. Lo empezó a escribir en Milán en el año 1496 bajo la protección del Duque Ludovico Sforza, que mantenía una buena relación con Leonardo da Vinci, y finalmente se publicó en 1509.

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La divinidad atribuida por Luca Pacioli a esta proporción se basa en las cinco semejanzas de estas medidas que él aprecia en relación con Dios: La unicidad, la Trinidad, la inconmensurabilidad, la inmutabilidad y, finalmente, la divinidad que el dodecaedro simboliza, como sólido platónico representante de la quintaesencia, una quintaesencia que aglutina o de algún modo crea a los otros cuatro sólidos, es decir, la representación platónica de Dios y la Creación. Y, ciertamente, hay que admitir que se trata de un número único procedente de tres medidas únicas, que sus decimales no tienen fin ni se desarrollan en series, que no cambia y que está íntimamente ligado al dodecaedro.

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EL PENTÁGONO Y LA ESTRELLA PITAGÓRICA

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La divinidad otorgada al dodecaedro por Platón y por Luca Pacioli, acaba llevándonos al pentágono regular en el que enseguida se detectan distintas medidas que nos conducen a la Divina Proporción y, consiguientemente, al número áureo. Trazando dos diagonales entre dos vértices, cuando se crucen lo harán exactamente por la sección áurea partiendo las diagonales en dos segmentos, uno más grande y otro más pequeño, de modo que la longitud de la diagonal dividida entre la del segmento grande dará como resultado el número Phi, exactamente igual que si dividimos la longitud del segmento grande entre la del pequeño. Con la particularidad, además, de que el segmento grande equivale en tamaño exactamente al lado del pentágono.

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Y trazando todas las diagonales posibles del pentágono se dibuja la estrella pitagórica o pentagrama pitagórico, conocido así porque ese era el símbolo que representaba a la Hermandad Pitagórica, creada por Pitágoras en Crotona, al sur de Italia, después de exiliarse de Samos debido a la tiranía que instauró su mandatario. Pitágoras y sus seguidores formaban una comunidad de matemáticos, filósofos, astrónomos y músicos que consideraban que todo se basaba en los números. Parece ser que los pitagóricos adoptaron esta figura geométrica por sus especiales medidas que, posteriormente, se asociaron al número áureo.

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Probablemente por sus connotaciones filosóficas y teológicas, podemos encontrar la estrella pitagórica con sus medidas áureas en numerosas iglesias y catedrales. Las más significativas de España son la de la Ermita de San Bartolomé de Ucero, construida en la transición del románico al gótico y situada en el Cañón de Río Lobos (Soria). Esta ermita, además, tiene la particularidad de estar localizada en el centro casi exacto de una línea imaginaria trazada desde el extremo más oriental de la península al más occidental. También la iglesia de San Juan, en Castrojeriz (Burgos), luce la estrella pitagórica en una de sus fachadas, junto a la torre. Y en la iglesia de San Andrés, en Calatayud (Zaragoza), de estilo mudéjar, igualmente podemos ver esta figura geométrica en una de las caras de su torre.

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Fuera de España la encontramos en la catedral de Amiens (Francia), en el Convento de Cristo, en Tomar (Portugal) y en la iglesia de Santa María, en Lemgo (Alemania), entre otras muchas edificaciones, aparte de haber sido utilizada también por diversos artistas y constructores en numerosas obras.

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Y quizá podría considerarse todo un alarde de esoterismo pitagórico la construcción del Pentágono, en Virginia (EEUU), sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. Un edificio en forma de pentágono regular de 280,41 metros de lado, que resulta ser el más grande del mundo dedicado a oficinas.

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TRIÁNGULOS, RECTÁNGULOS, ÁNGULOS Y ESPIRALES ÁUREAS

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN EL ARTE

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Son muchos los pintores y escultores que han creado sus obras tomando las medidas de la Divina Proporción, entre ellos destaca Sandro Botticelli, nacido en Florencia en 1445, casualmente el mismo año que Luca Pacioli, cuya obra más representativa es el Nacimiento de Venus.

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En esta obra las medidas del cuadro son exactamente las del rectángulo áureo y la composición de sus personajes está dentro de la espiral áurea. Del mismo modo, toda la fisionomía de la propia Venus está dentro de las medidas de la Divina Proporción.

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Leonardo da Vinci también utilizó estas medidas en muchos de sus cuadros, igual que Durero, Tintoretto, Rubens y Velázquez, entre otros pintores renacentistas, cuya técnica ha llegado prácticamente hasta nuestros días, con pintores como Renoir, Pierre Daguet, Roberto Sampaolesi, Lula Cardoso o Salvador Dalí.

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Otro tanto ha ocurrido con la escultura. Un ejemplo es La Piedad, de Miguel Ángel, que, vista desde la vertical, se comprueba que está perfectamente integrada en la espiral áurea.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN LA MÚSICA

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Aparte de encontrarse la razón áurea en las medidas de buena parte de violines y guitarras, sobre todo se encuentra en distintas composiciones de música clásica de variados compositores.

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Entre ellos se encuentran, por ejemplo, Mozart con su Concierto para Piano nº 21 o la Sonata nº 1, entre otras muchas piezas musicales de este autor, y también Beethoven en su 5ª Sinfonía, o Pachelbel con el Canon.

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Unos probablemente sin percatarse de que estaban utilizando la razón áurea para crear sus obras y otros de forma intencionada, lo cierto es que muchos compositores hasta nuestros días han hecho uso de la Divina Proporción, del número áureo o de la Sucesión de Fibonacci para aplicarlo de distintos modos en sus creaciones.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN LAS CONSTRUCCIONES

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Desde las pirámides de Egipto hasta el día de hoy, también han sido muchos los arquitectos que han tenido en cuenta estas medidas para sus construcciones.

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La pirámide de Keops es uno de los más antiguos ejemplos cuando comprobamos las relaciones entre las distintas áreas de su base y sus triángulos.

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También el Partenón de Atenas está lleno de medidas áureas, y seguramente ese sea uno de los motivos por los que Ohm quiso honrar a Fidias, su constructor, llamando Phi al número áureo. La fachada del Partenón está perfectamente integrada en el rectángulo áureo, igual que sus cornisas, frisos y arquitrabes, junto con algunas de las estatuas que lo decoraron, igualmente creadas por Fidias.

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Pero también otros constructores muy posteriores utilizaron estas proporciones, como ha ocurrido con la Torre Eiffel y la catedral de Notre Dame, ambas en París, en las que prácticamente todas sus medidas cumplen con la recta dividida en extrema y media razón. Y más moderno aún es el edificio sede de la ONU, en Nueva York (EE.UU.), cuya fachada forma un rectángulo áureo perfecto, así como la Torre CN, en Toronto (Canadá), que tiene la sección áurea exactamente en el mirador.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN LAS EMPRESAS

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Igual que pintores, escultores, músicos y arquitectos, también distintas empresas se han apuntado al uso en sus logotipos de las medidas de la Divina Proporción.

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Todas ellas utilizan algunas de las medidas áureas, bien sea acoplándolos al rectángulo áureo, a la espiral áurea o, simplemente, a las proporciones entre “la recta, el segmento mayor y el segmento menor”, que es lo que sucede con Toyota, Honda, Pepsi-Cola, la manzana de Apple, la nube de iCloud o el pájaro de Twitter, por ejemplo.

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Pero uno de los casos más curiosos y que más manejamos todos es la tarjeta de crédito que cumple perfectamente con la medida del rectángulo áureo, es decir, dividiendo su lado mayor entre su lado menor obtenemos el número Phi.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN LA NATURALEZA

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Todo lo visto hasta ahora sólo sería una curiosa regla matemática -más o menos bella al aplicarla a distintas construcciones hechas por seres humanos-, si no fuese porque la Naturaleza está extrañamente llena de números de Fibonacci y de todo tipo de medidas áureas, desde el crecimiento de las plantas, pasando por las estructura de sus frutos y los pétalos de sus flores, y finalizando con los insectos, las propias personas e incluso por la espiral que forma los huracanes.

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Los números de pétalos de los distintos tipos de margaritas, cumplen con los números de la Sucesión de Fibonacci. La colocación de las semillas del girasol, de la piña y de la mayoría de las plantas cuyos frutos crezcan en espiral, sus espirales pueden contarse tanto de derecha a izquierda como de izquierda a derecha, y el número de espirales que van hacia la derecha cumple con la Sucesión de Fibonacci con respecto a las que van hacia la izquierda. Las ramas de los árboles y las hojas de las ramas crecen dejando entre ellas el espacio que se corresponde con el ángulo áureo (137,5° aprox.).

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La mayoría de las conchas de los caracoles se aproximan mucho a la espiral áurea y concretamente la concha del Nautilus la cumple con toda exactitud. El árbol genealógico de las abejas obedece a la Sucesión de Fibonacci. En las propias abejas y en muchos otros insectos se encuentra la sección áurea entre las distintas medidas de su cabeza, su tórax y su abdomen.

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En las personas también se aprecia que, de modo muy aproximado, se cumplen proporciones áureas, tanto en el cuerpo como en cabeza, piernas, brazos, manos o rostro, tal y como demostraron pintores como Botticelli o escultores como Fidias, que utilizando esas medidas construyeron cuerpos considerados perfectos por la mayoría de las personas.

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Y, como curiosidad, se observa que la temperatura media de los mamíferos (38°) es, aproximadamente, la sección áurea de un segmento que mida 100°.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN EL UNIVERSO

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Y ya fuera de nuestro planeta también parece evidente que las galaxias en espiral cumplen con medidas áureas, como sucede con la conformación de los huracanes, y en nuestro Sistema Solar hay algo muy curioso que igualmente nos lleva al número Phi.

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Si medimos la distancia al Sol desde todos los planetas y después dividimos la distancia de cada planeta entre el inmediatamente anterior obtendremos un resultado, y si finalmente sumamos todos los resultados y hacemos la media, nos encontramos nuevamente con el número Phi. Y también es muy curioso algo que actualmente están estudiando los astrónomos. Dicen que todo apunta a que un agujero negro empieza a enfriarse cuando el cuadrado de su masa dividido entre la velocidad a la que rota da como resultado el número Phi.

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Después de haber pasado muy sucintamente por la sección áurea, los números de Fibonacci y el número Phi, se puede llegar a distintas conclusiones; desde una simple curiosidad matemática de las muchas que se encuentran en los números, hasta otorgarle un carácter divino que nos lleve al mismísimo Dios. Sea lo que fuere, lo cierto es que esos números están claramente presentes en la Naturaleza, desde lo más minúsculo hasta lo más grande, y forman parte de la existencia misma.

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Ese interesante número áureo, ese casi sagrado número Phi, que es el resultado de la Divina Proporción, curiosamente también es el resultado de multiplicar por dos el seno del número más apocalíptico de la Biblia. ¿Quizá estamos ante el ying y el yang? ¿O son sólo matemáticas? No lo sé.

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